高三数学第一轮复习讲义 6 函数的单调性

2018 届高三第一轮复习讲义【 6】 -函数的单调 一、知识梳理 1．函数的单调性 （ 1）定义： 一般地，设函数 )(xfy? 的定义域为 I ， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 21,xx ，当 21 xx? 时，都有 ))()()(()( 2121 xfxfxfxf ?? ，那么就 说 )(xf 在区间 D 上是增函数（减函数），且 D 为 )(xfy? 的单调区间． 【注意】 ① 函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是定义域的某个子区间，也可以是整个定义域， 如果函数 在整个定义域上单调，则它在子区间上也是单调的； ② 如果函数的图像不是连续的，讨论单调性需分段讨论，在整个定义域上是否单调要根据 单调性的定义来分析； ③ 函数的单调性是函数局部的性质，在对函数图像的一部分进行研究时，经常用到； ④ 定义法是判断函数单调性的最基本方法，特别是在一些非初等函数中 . （ 2） 复合函数单调性特点： “同増异减 ” 例如 : 当 ()u gx? 与 ()y f u? 均为区间 ( , )???? 上的增函数 (减函数 )时 , 由 ()u gx? 是增 函数 (减函数 ), 则当 x 增大时 , u 随着 x 增大而 __增大 __(___减小 __), 而由 ()y f u? 是增函数 (减函数 ), 则当 u 增大 (减小 )时 , y 随着 u 增大 (减小 )而 ___增大 __(____增大 __), 综上有 y 随着 x 的增大而 ___增大 __, 即 [ ( )]y f g x? 是增函数 . 又如 : 当 ()u gx? 与 ()y f u? 分别为区间 ( , )???? 上的增函数和减函数时 , 由 ()u gx? 是增函数 , 则当 x 增大时 , u随着 x 增大而 __增大 _, 而由 ()y f u? 是减函数 , 则当 u增大时 , y 随着 u 增大而 ___减小 __, 综上有 y 随着 x 的增大而 ___减小 __, 即 [ ( )]y f g x? 是减函数 . （ 3） 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 【步骤】 ① 任取 Dxx ?21, ，且 21 xx? ； ② 作差 )()( 21 xfxf ? （偶有做商比较大小的） ； ③ 变形（通常是通分、因式分解和配方） ； ④ 定号（即判断差 )()( 21 xfxf ? 的正负） ； ⑤ 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） ； 【注意】 在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等， 特别要注意 (0by ax ax? ? ? 0)b? 型函数的图像和单调性在解题中的运用：增区间为 ( , ],[ , )bb aa?? ? ?? ，减区间为 [ , 0), (0, ]bbaa? . 【提醒】 函数的周期性往往和奇偶性、单调性以及函数的图像及解析式相关联出现，现在大多 数都是以 抽象函数的形式出现，涉及到的题型有：求解析式、求值、求不等式解集、求单调区间、 求参数的值等等 . 【特别提醒】 求单调区间时，一是勿忘定义域；二是 在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ” 和“或” ；三是单调区间应该用区间表示，不能用 集合或不等式 表示 ． 【注意】函数的单调性，有时也可用下列式子来表示增减： ? ? ? ? )0(0 21 21 ???? xx xfxf 或 ? ? ? ?? ?? ? )0(02121 ???? xxxfxf ，函数为增（减）。 二、基础检测 1. 若函数 2 1y x ax???在 ( ,2]?? 上单调递减 , 则实数 a 的取值范围是 _______________. 2. 若函数 2( ) 4 8f x kx x? ? ?在区间 [5,20] 上单调递减 , 则实数 k 的取值范围是 ______________. 3. 若 ()y f x? 为奇函数 , 且在 ( ,0)?? 上是减函数 , ( 2) 0f ?? , 则 ( ) 0xf x ? 的解集为 ______________. 4. 若 ()y f x? 与 ()y gx? 均为 R 上的增函数 , 则下列命题中正确的是 答 [ ] A. ( ) ( )f x g x? 及 ( ) ( )f xgx 均为增函数 B. ( ) ( )f x g x? 为增函数 , ( ) ( )f xgx 的单调性无法确定 C. ( ) ( )f x g x? 的单调性无法确定 , ( ) ( )f xgx 为增函数 D. ( ) ( )f x g x? 及 ( ) ( )f xgx 的单调性均无法确定 5. 已知函数 ()y f x? 是定义在 R 上的偶函数 , 它在 [0, )?? 上单调递减 , 那么一定有 答 [ ] A. 23( ) ( 1) 4f f a a? ? ? ? B. 23( ) ( 1) 4f f a a? ? ? ? C. 23( ) ( 1) 4f f a a? ? ? ? D. 23( ) ( 1) 4f f a a? ? ? ? 6. 给出以下几个命题 : (1) 1yx x?? 是 (0, )?? 上的单调函数 ; (2) 254y x x? ? ? 单调递减区 1 2 0 y x1 -1 间是 [2, )?? ; (3) 已知 ()y f x? 是 ( , )???? 上 的 增 函 数 , 若 0ab?? , 则有 ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f a f b? ? ? ? ?; (4)函数 11y x? ? 在 ( , 1) ( 1, )?? ? ? ? ??上是减函数 ; 其中正 确的命题的序号是 _________________. 三、例题精讲： 【例 1】已知函数 ( ) 2 af x x x?? 的定义域为 ? ?0,2 ． 证明：当 8a? 时，函数 ()y f x? 在定义 域上是减函数； 【参考答案】 证明： 1 2 1 2, , (0, 2]x x x x??， 1 2 1 2 12 12( ) ( 2 )( ) ( ) x x x x af x f x xx???? ， 因为 1 2 1 2, , (0 , 2 ]x x x x??，所以 1 2 1 2 1 20 , 2 8 , 2 0x x x x a x x a? ? ? ? ? ?， 1 2 1 2( ) ( ) 0 , ( ) ( )f x f x f x f x? ? ?，所以 ()fx是减函数． 【例 2】作出函数 2( ) | 1 |f x x x? ? ?的图像，并根据函数图像写出函数的单调区间． 【参考答案】 解：当 11xx? ??或 时 , 2 1y x x? ? ? 215()24x? ? ? 当 11x? ? ? 时 , 22151 ( )24y x x x? ? ? ? ? ? ? ? 由函数图像可以知道函数减区间为 1( , 1],[ ,1]2?? ? ，函数增区间为 1[ 1, ],[1, )2? ?? ． 【例 3】 若函数 )(),( xgxf 均为 R 上增函数，则下列命题中正确的是 ______________ （ 1） )()( xgxf ? 及 )()( xgxf 均为增函数； （ 2） )()( xgxf ? 为增函数， )()( xgxf 的增减性无法确定； （ 3） )()( xgxf 为增函数， )()( xgxf ? 的增减性无法确定； （ 4） )()( xgxf ? 及 )()( xgxf 的增减性无法确定； 【参考答案】 解：对任意 12,x x R? ，不妨假设 12xx? ， 由函数 ( ), ( )f x g x 均为 R 上增函数，则 1 2 1 2( ) ( ) , ( ) ( ) ,f x f x g x g x?? 从而 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ,f x g x f x g x? ? ?故函数 ( ) ( )f x g x? 是增函数． 令 ()f x x? ， ( ) 1g x x??， 2( ) ( ) +f x g x x x??，显然，在 R 上不单调．故正确的 结论只有（ 2）． 【例 4】已知 ()y f x? 在定义域 ( 1,1)? 上是减函数，且 (1 ) (2 1)f a f a? ? ?，求 a 的取值 范围． 【参考答案】 解： 1 2 1 1 1aa? ? ? ? ? ?，解得 2(0, )3a? ． 【例 5】已知函数 ???? aaxxxf (|1|)( R ）． 若函数 )(xf 在 R 上具有单调性，求 a 的 取值范围． 【参考答案】 解： ( 1 ) 1 1( ) | 1 | ( 1 ) 1 1a x xf x x a x a x x? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ， 当 10 10aa???? ??? 或 10 10aa???? ??? ． 即 1a? 或 1a?? 时， ()fx在 R上分别是增函数和减函数． 所以，当 1a? 或 1a?? 时，函数 ()fx在 R 上具有单调性． 【例 6】 函数 )1lg()( 2 ??? axxxf 在区间 ),1( ?? 上单调增函数，则 a 的取值范围是 ________． 【参考答案】 解：令 2( ) l g ( ) , ( ) 1 0f x u x u x x a x? ? ? ? ?，由 ) lg ( )f x u x? 单调递增， 故 2( ) 1 0 , (1 , )u x x a x x? ? ? ? ? ??且 ()ux 在 (1, )?? 上单调递增，则 (1) 0 01 2 u aa ??? ??? ?? ? ． 【例 7】已知函数 ? ? ? ?3 1 4 , 1 lo g , 1aa x a xfx xx? ? ???? ? ??? 是 R 上的减函数，求实数 a 的取值范围． 【参考答案】 解： 3 1 0 10 01 3a aa??? ? ? ?? ??? 又 13 1 4 lo g 1 7 aa a a? ? ? ? ? ，所以 1173a?? ． 【例 8】 判断下列函数在指定区间上的单调性 , 并利用函数单调性的定义说明理由 . (1) 1()f x x x?? , 在区间 (0, )?? 上 ; 证明 : 任取 12, (0, )xx? ?? , 设 12xx? , 1 2 1 21211( ) ( )f x f x x xxx??? ? ? ? ????? 212 12 ()0xxxx???, 又 12xx? , 故 12( ) ( ) 0f x f x??, 即 12( ) ( )f x f x? , 因此 1()f x x x?? 在 (0, )?? 上单调递增 . (2) ( ) | 1|g x x?? , 在区间 [0,4] 上 . 解 : (0) 1g ? 且 (2) 1g ? ,由 (0) (2)gg? 知 ()gx在 [0,4] 上不是减函数 ; 由 (0) (2)gg? 知 ()gx在 [0,4] 上不是增函数 ;因而 ()gx在 [0,4] 上既非增函数又非减函数 . 另一方面 1, 1() 1 , 1xxgx xx???? ? ??? ,因此 ()gx在 [0,1] 上单调递减 , 在 [1,4] 上单调 递增； 【例 9】 已知 20.5log (3 5)y x ax? ? ?在 [ 1, )? ?? 上是减函数 , 求实数 a 的取值范围 . 解 : 令 235t x ax? ? ? , 则 0.5logyt? , 为减函数 , 由复合函数单调性可知 , 235t x ax? ? ? 在区间 [ 1, )? ?? 上单调递增 , 即有 16 6axa?? ? ? ? ? ? ? , 此外 , 235t x ax? ? ? 在区间 [ 1, )? ?? 恒为正 , 即不等式 23 5 0x ax? ? ? 在 [ 1, )? ?? 上恒成立 , 即 min 0t ? , 结合其单调性可知 , m in 1| 8 0 8xt t a a??? ? ? ? ? ? ?, 综上所述 , 86a? ? ?? . 【例 10】 已知函数 2() af x x x?? ( 0x? , 常数 a? ). (1) 讨论函数 ()fx 的奇偶性 , 并说明理由 ; (2) 若函数 ()fx 在 [2, )?? 上为增函数 , 求 a 的取值范围 . (1)解 : 当 0a? 时 , 2()f x x? 为偶函数 ; 当 0a? 时 , (1) 1fa?? , ( 1) 1fa? ? ? , 若 ( 1) (1)ff?? , 则 0a? , 与 0a? 相违背 , 若 ( 1) (1)ff? ?? , 则 11??, 无解 ; 综上所述 , 当 0a? 时 , 2()f x x? 为偶函数 , 当 0a? 时 , 函数为非奇非偶函数 . (2)解 : 任取 122 xx?? , 22 121 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) [ ( ) ] xxaaf x f x x x x x x x ax x x x?? ? ? ? ? ? ? ?, 由 122 xx??知 : 120xx??, 124xx? , 由函数为增函数 , 则 1 2 1 2()a x x x x??恒成立 , 又 124xx??, 124xx? , 则 1 2 1 2( ) 16x x x x??, 因此 a 的取值范围是 ( ,16]?? . 【例 11】 已知函数 ()y f x? 是定义在区间 [1,1]? 上的奇函数 , 满足 (1) 1f ? . 若对任意 , [ 1,1]ab?? 且 0ab?? , 都有 ( ) ( ) 0f a f bab? ?? . (1) 判断 ()fx 在区间 [1,1]? 上的单调性 , 并说明理由 ; (2) 若 实数 c 满足 2(1 ) (1 ) 0f c f c? ? ? ?, 求 c 的取值范围 ; (3) 若不等式 2( ) 2 1f x m tm? ? ?对任意的 [ 1,1]x?? 及 [ 1,1]t?? 都成立 , 求实数 m 的取值范围 . 解析 (1)解 : 任取 12, [ 1,1]xx?? , 12xx? , 则 12( ) 0xx? ? ? , 由题意得 12 1 2 1 2( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )()f x f x f x f x f x f xxx?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? , 结合 ()y f x? 是奇函数得 12( ) ( )f x f x? , 即 ()y f x? 是 [1,1]? 上的增函数 . (2)解 : 22(1 ) (1 ) 0 (1 ) (1 )f c f c f c f c? ? ? ? ? ? ? ? ?, 由 ()y f x? 是奇函数得 2(1 ) ( 1)f c f c? ? ?, 结合 ()y f x? 在 [1,1]? 上单调递增得 21 1 1 1cc? ? ? ? ? ?, 解得 01c?? . (3)解 : 由题意 , 2m ax( ) 2 1f x m tm? ? ?, 由 ()y f x? 单调递增 , 得 max( ) (1) 1f x f??, 故 221 2 1 2 0m tm m t m? ? ? ? ? ? ?对一切 [ 1,1]t?? 恒成立 , 令 2( ) 2 , [ 1,1]g t m t m t? ? ? ? ?, 则上述不等式很成立 min( ) 0gt??, 又 min( ) ( 1)g t g??或 min( ) (1)g t g? , 故 m in (1) 0( ) 0 ( 1) 0ggt g ???? ? ??? , 解不等式得 ( , 2] { 0 } [ 2 , )m ? ?? ? ? ? ??. 四、难题突破： 例 1、 已知函数 ayxx?? 有如下性质：如果常数 0a? ，那么该函数在 ?0, a?? 上是减函数， 在 ?,a? ??? 上是增函数 . (1) 如果函数 2byxx?? ? ?0x? 的值域为 ? ?6,?? ，求实数 b 的值； (2) 研究函数 2 2cyxx?? （常数 0c? ）在定义域内的单调性，并说明理由； (3) 对函数 ayxx?? 和 2 2ayxx?? （常数 0a? ）作出推广，使它们都是你所推广的函数 的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 ? ? 2 211nnF x x xxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?（ n 是正整数）在区间 1,22??????上的最大值和最小值（可 利用你的研究结论） . 解 : (1) 2log9b? ， (2) 函数在 ?4 ,c? ??? 和 ?4 ,0c??? 上单调递增，在 ? 40, c?? 和 ? 4, c???? ? 上单调递减， (3) 可以把函数推广为 n nayxx?? （常数 0a? ），其中 n 是正整数， 当 n 是奇数时，函数在 ? 20,na?? 和 ?2 ,0na??? 上单调递减，在 ?2 ,na? ??? 和 ? 2, na???? ? 上单 调递增， 当 n 为偶数时，函数在 ? 20,na?? 和 ? 2, na???? ? 上单调递减，在 ?2 ,na? ??? 和 ?2 ,0na??? 上单 调递增， 当 12x? 或 2x? 时，函数 ??Fx取得最大值 99 24 nn? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ，当 1x? 时， ??Fx取得最小值 12n? ； 五、课堂练习 1. 函数 24y x? 在 (0, )?? 上的单调性是 ________________. 2. 函数 20.7log ( 3 2)y x x? ? ?的单调递减区间为 _________________. 3. 已知偶函数 ()y f x? 在区间 [0,π] 上单调递减 , 则把 3π 1( ), ( π), (lo g )29f f f? 按从小到大的 顺序排列是 _________________________. 4. 若函数 1() 2axfx x ?? ? 在区间 ( 2, )? ?? 上单调递增 , 则 a 的取值范围是 ________________. 5. 已知函数 , 0() ( 2 ) 2 , 0 xaxfx a x a x? ?? ? ? ? ?? 是 ( , )???? 上的增函 数 , 则实数 a 的取值范围是 _____________. 6. 下列函数中 , 在区间 [1, )?? 上是增函数的是 答 [ ] A. 2( 1)yx?? ? B. | 1|yx?? C. 1 1y x? ? D. 2( 1)yx?? ? 7. 设函数 ()y f x? 是 R 上的减函数 , 且恒有 ( ) 0fx? , 则下列函数中是增函数的是 答 [ ] A. 1 ()y fx?? B. ()2fxy? C. 0.5log ( )y f x? D. 2[ ( )]y f x? 8. 判定函数 2( ) 2 1, [ 4 , 2 ]f x x x x? ? ? ? ?的单调性 , 并求出它的单调区间 . 9. 证明 : 函数 21()1fx x? ? 在区间 (0,1) 上是减函数 . 10. 已知函数 ( ) lo g ( 2 ) ( 0 , 1 )af x a x a a? ? ? ?在 [0,1] 上是减函数 , 求实数 a 的取值范围 . 11. 已知函数 ()y f x? 是定义在 (0, )?? 上的增函数 . 对任意 , Rxy? , ( ) ( ) ( )f xy f x f y??, 且 (2) 1f ? , 解不等式 ( ) ( 2) 3f x f x? ? ?. 12. 设 0a? , e() ex xafx a?? 是 R 上的偶函数 , (1) 求 a 的值 ; (2) 证明 ()fx 在 (0, )?? 上为增函数 . 13. 已知函数 11( ) lg 21 xfx xx????? , 11x? ? ? . (1) 判断函数在定义域 (1,1)? 上的单调性 , 并利用单调性的定义证明 ; (2) 解不等式 11[ ( )] 22f x x?? . 六、回顾与总结： 1.主要方法 : ① 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的，一般有三种方法 : ⑴定义法是最基本的方法，有三个特征 : 一是同属一个单调区间；二是任意性；三是有大小，三者缺一不可 ⑵复合函数判断法； ⑶利用已知函数的单调性来判断； ②判断函数奇偶性的基本方法 : 定义法 . 2.易错、易漏点 : ①讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集； ②函数 单调增或减有几个子区间时，不可用并集符合连接，要用“和”或者“，”连接 ； ③ 函数 的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 ， 是函数的局部性质； ④增函数 +增函数 =增函数，增函数 -减函数 =增函数，减函数 +减函数 =减函数； 减函数 -增函数 =减函数； 七、课后练习 1． 函数 )32(lo g)( 2 21 ??? xxxf 的递减区间是 ． 2．函 数 22 )13()( axaaxxf ???? 在 ),1[ ??? 上是增函数，则实数 a 的取值范围 是 ． 3．函数 ? ?? ? ?? ? ?????? ???? 0,,23 ,0,)( 23 2 xaax xxxf 在区间 ? ?,???? 是递增函数，则 a 的取值范 围是 ． 4．若函数 21)( ??? xaxxf 在 )2,( ??? 上为增函数，实数 a 的取值范围是 ． 5 ．已知函数 )2(l o g)( 23 aaxxxf ??? ，对任意 1?x ，当 0??x 时，恒有 )()( xfxxf ??? ，则实数 a的取值范围是 ． 6．如果对于函数 )(xf 定义域内任意的 x ，都有 MMxf ()( ? 为常数 ) ，称 M 为 )(xf 的 下界，下界 M 中的最大值叫做 )(xf 的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是 ． ① xxf sin)( ? ； ② xxf lg)( ? ； ③ xexf ?)( ； ④ ?? ??? ?? ? ? ? )0(,1 )0(,0 )0(,1 )( x x x xf 7．已知函数 1)(,)( 2 ??? xxgxxf （ 1）若存在 ,Rx? 使得 )()( xbgxf ? ，求实数 b 的取值范围； （ 2）设 21)()()( mmxmgxfxF ????? ，且 |F(x)|在 [0,1]上单调递增，求实数 m 的取值 范围． 8．试讨论函数 1lo g2lo g2 21 2 21 ??????????? xxy 的单调性． 9．已知函数 xxxf ?)( ． 当 ? ?1, ?? aax 时，不等式 )(4)2( xfaxf ?? 恒成立，则实数 a 的 取值范围是 ． 10． “求方程 3 4 5x x x??的解 ”有如下的思路：方程 3 4 5x x x??可变为 34( ) ( ) 155xx??，考察 函数 34( ) ( ) ( )55xxfx??可知， (2) 1f ? ，且函数 ()fx 在 R 上单调递减， ∴ 原方程 有唯一解 2x? ．仿照此解法可得到不等式： 6 3 2( 2 3 ) ( 2 3 )x x x x? ? ? ? ?的解是 ． 11．若 , , ,a b c R a b c?? ? ?，当 1a? 时，试比较 aa aabc? 与 1 的大小 ． 【思考题】 12. 判断函数 ???? ??? ?? 21( ) 1fx x 在区间 ?(0, )∞ 上的单调性 . 13. 已知 ()fx 是定义在 ?[1,1] 上的奇函数，且 ?(1) 1f ，若 ??、 [ 1,1]ab ， ??0ab 时， 有 ? ? ?( ) ( ) 0f a f bab . ⑴判断 ()fx 在定义域内的单调性； ⑵解不等式 ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?1121f x f x ； ⑶若 ? ? ?2( ) 2 1f x m am对所有 ??[ 1,1]x ， ??[ 1,1]a 恒成立，求实数 m 的取值范围